Introduction

Ce document synthétise les informations disponibles sur Béryl, une fractale mathématique que j'ai étudiée dans le cadre de mon TIPE, réalisé au lycée Camille Pissarro, année 2007-2008.

Les documents

Les « lisibles »

Tous les documents ci-dessous sont des PDF, créés à partir de fichiers LaTeX, dont vous pouvez récupérer les sources (disponibles en remplaçant l'extension .pdf par .tex dans l'adresse de ces documents).

• Synthèse : ce document présente Béryl, et les axes principaux de l'étude que j'ai menée. 15 pages, illustrations comprises.
• Annexe : assez peu de texte, mais beaucoup de preuves, de calculs et d'observation. 27 pages (dont 5 de code), illustrations comprises.
• Dossier pour l'ENS : je n'ai pas passé les épreuves orales, mais il m'a fallu préparer un dossier tout de même. Destiné plutôt à un public de « matheux », il est assez dense. 5 pages de texte, 13 pages d'illustration.

Les supports de présentation

L'épreuve de TIPE consiste (notamment) en un oral d'une dizaine de minutes, suivi de dix minutes de questions. Cet oral s'appuie sur la fiche synoptique et les transparents (ce derniers étaient appuyés par des figures, aussi imprimées sur transparents). Là aussi, vous pouvez récupérer les sources LaTeX des documents.

Les images

Puisque j'ai travaillé sur une fractale (qui est avant tout un objet qui s'observe), j'ai gardé de nombreuses images. Celles-ci ont été réalisées par le logiciel GNU/XaoS, modifié pour afficher Béryl.

• Béryl, Variations et Hiver-Printemps 2008 : des galeries d'images représentant des détails de Béryl. Ces images correspondent d'abord à une démarche artistique.
• Vues de Béryl : ces images présentent Béryl de manière générale, représentent les différentes coupes sans angle particulier (pour se familiariser avec la « forme » de l'ensemble).
• Diverses images : utilisée pour illustrer les différents documents. La plupart soulignent un aspect particulier.
• Images présentées : les images nommées pdy-*.png ont été imprimées sur papier photo, et ont été présentées le jour du TIPE.

Le travail en lui-même

Les programmes

• Le patch pourGNU/XaoS : ce fichier sert à patcher le code source de la version 3.3. Attention, il n'est pas à utiliser tel quel ! Il vous donnera une version boguée de XaoS (en fait, il réordonne en même temps la liste des fractales, il faut alors aussi modifier src/ui-hlp/menu.c). Vous voilà prévenus. Cependant, il n'est pas inutile : il explique les modifications que vous devrez faire pour ajouter Béryl à la liste des fractales gérées par XaoS.
• Le programme pour extraire les données nécessaires à la mesure de la dimension fractale d'un objet (en pascal) et la même chose en C : ce programme est parfaitement adaptable à d'autres types de fractales. En modifiant la fonction est_dans_beryl (et en la renommant, si vous voulez), vous pouvez extraire des données qui vont servir à mesurer la dimension d'autres fractales. Je l'ai utilisé (à des fins de test) pour calculer celle de l'ensemble de Mandelbrot, et pour vérifier que la dimension d'une droite était bien 1. Notez bien : le programme écrit les données dans un fichier texte sous la forme : "1/epsilon : N(epsilon);" (une entrée par ligne). J'ai travaillé avec le programme en C (je n'ai réalisé le programme en Pascal qu'après être passé à l'oral). Je ne sais pas si l'un est plus rapide que l'autre, mais celui en pascal est plus optimisé au niveau gestion de la mémoire : le C ne gérant pas les variables binaires de manière simple, des informations binaires sont codées sur 8 bits, ce qui affreux d'un point de vue de la gestion de la mémoire. Le pascal n'a pas cette limitation. Dans les deux cas, il vous faudra un compilateur pour pouvoir exécuter le programme. Le programme est sous licence GNU General Public License, version 3 (ou suivantes) (vous pouvez donc l'utiliser, le modifier, et publier les modifications à condition qu'elles soient sous la même licence).

Les données

Le programme précédent m'a permis d'obtenir de grosses listes de nombres. Ces listes, je les ai exploitées à l'aide d'OpenOffice.org Calc, pour prendre le logarithme de ces nombres, faire une régression linéaire sur les logarithmes, et ainsi trouver la dimension fractale de l'ensemble (avec, en bonus, une mesure de l'incertitude). Vous pouvez consulter ces données : vous trouverez à la fois les données brutes et les fichiers Calc. Vous trouverez notamment le document résumant toutes les mesures effectuées (donnant la dimension en fonction du paramètre k).

Conclusion

Note

Ce document est signé : signature.

Historique du document

1. 3 août 2007 : création initiale
2. 6 août 2007 :
   • Réorganisation (déplacement vers un répertoire approprié).
   • Modification de la structure de la page (ajout de la section « études des valeurs initiales »).
3. 28 août 2007 :
   • Ajout de la représentation des courbes contenues dans la fractales.
   • Enrichissement de la partie portant sur les antécédents des valeurs opposées.
   • Ajout de la licence GPL pour les documents annexes.
   • Apport d'une précision concernant l'étude des valeurs complexes (il n'y a pas que des patatoïdes).
   • Ajout d'une sous-sous-partie « valeurs en-dehors de la fractale ».
   • Corrections mineures.
4. 13 octobre 2007 :
   • Conformation aux directives XHTML du W3C.
   • Ajout de la définition de fractale.
   • Ajout d'une description sommaire des formes obtenues dans le cas complexe.
   • Ajout de la section « Algorithmique/En C », décrivant l'utilisation du patch écrit pour GNU/XaoS.
   • Ajout de la section «graphiquement », et des images.
   • Modification de la « Note », de la conclusion.
5. 28 octobre 2007 :
   • Ajout du nom de l'ensemble.
   • Changement du titre de la page.
   • Ajout d'une description plus générale des études possibles sur cette ensemble.
   • Ajout de la description du principe des sections planaires de l'ensemble chez les complexes.
6. 3 novembre 2007 :
   • Suppression de la partie Algorithmique/Logo.
   • Correction du patch (suppression des bogues), merci à Árpád Fekete pour son aide.
   • Ajout des RPM pour Fedora.
7. 17 juillet 2008 :
   • Refonte totale de la page (réduction).
   • Ajout du dossier.
   • Changement de licence.
8. 26 juillet 2008 : Quelques changements cosmétiques pour l'adaptation au nouveau site web.

Licence

Le document, et les documents qui y sont liés, sont publiés sous licence GNU Free Documentation License. Vous pouvez le copier, le modifier ou en utiliser des extraits, à condition de placer vos travaux dérivés sous une licence compatible, et de citer l'auteur (faire un lien vers cette page suffit).
Les morceaux de code contenus dans les fichiers annexes (« fichiers sources ») sont publiés sous licence GPL, version 3 (ou suivantes). Les droits accordés sont sensiblement les même.