Détail de la fractale de Mandelbrot
Comme expliqué sur ma page d'accueil, je suis en math' spé, au lycée Pissarro. C'est la deuxième année de prépa. Elle se termine par les concours qui nous permettent d'intégrer une grande école d'ingénieurs (Polytechnique ou Centrale pour les meilleurs).
Une des épreuves que nous avons au concours est le TIPE. Une partie de cette épreuve est la présentation, devant un jury, d'un travail de recherche effectué pendant l'année. Nous avons la liberté de choisir le sujet qui nous intéresse, à condition qu'il corresponde. Cette année, le thème est : « Limite - Stabilité - Variabilité ».
Comme vous le savez sûrement, j'aime beaucoup explorer et étudier les fractales mathématiques. Or, la plupart de celles que vous pouvez observer dans ma galerie sont construits par une méthode relativement simple :
Quelle conclusion pouvons-nous tirer de cela ? Simplement que le sujet des fractales est parfaitement adapté au thème de cette année, puisque c'est l'étude de l'instabilité des limites de suites. C'est même un sujet type. Dans le cadre de ces TIPE, je vais donc étudier des fractales, parce que ça me passionne, et parce que c'est parfaitement dans le sujet.
Oui, mais voilà : les fractales, c'est un thème assez vaste. Il faut donc trouver un angle d'attaque pour ce sujet. De plus, je ne peux pas me contenter simplement de lire les études faites par Benoît MandelBrot ou Gaston Julia, puis ressortir le tout lors de l'oral. Il faut surtout, comme l'épreuve le demande, que je fasse un travail de recherche, si possible accompagné d'un travail de programmation (dans le cadre des fractales, ça ne doit pas être très difficile à faire).
Les fractales n'ayant connues un réel essor que depuis une trentaine d'années, il reste encore pas mal de chose à découvrir. Arrivé à ce point de la réflexion, l'idée m'est apparue, simple et logique : « Samuel, tu dois découvrir une nouvelle fractale ». Après tout, pourquoi pas ? Ça ne doit pas être trop difficile, c'est un excellent thème, je pourrais probablement en faire une étude approfondie, et le travail de programmation peut être celui de l'intégrer à un logiciel déjà existant (au hasard, GNU/XaoS). Il ne me restait plus qu'à trouver la fractale.
Très rapidement, l'idée m'est venue d'utiliser une double-suite. C'est à dire d'étudier l'évolution de 2 suites en parallèle, chaque suite étant définie récursivement en fonction des 2 termes précédents. J'ai repensé à une exercice que l'on avait fait (l'année dernière ou celle d'avant), qui consistait à étudier un tel système de suites. La première était la moyenne arithmétique des deux termes, la seconde était la moyenne harmonique de ces termes. Dans tous les cas, cette suite convergeait vers une certaine valeur. Ce n'était donc pas assez intéressant pour en faire une fractale.
Mon imagination m'a suggéré d'étudier un système de suites assez proche : la première suite est la moyenne des deux termes précédents, la seconde est le produit de ces termes. Cela donne, mathématiquement :
Pour ces suites, on peut définir deux paramètres : u0 et v0. J'ai eu d'abord l'idée d'étudier ces suites avec 2 valeurs complexes. On pourrait définir une infinité de fractales : pour une valeur u0 donnée, on étudie le comportement de la suite pour les valeurs v0 (représentés dans le plan). Intuitivement, je sais qu'il existera des valeurs pour lesquelles ces suites convergeront vers 0, d'autres pour lesquelles la suite divergera. Par exemple, pour deux nombres u0 et v0 différents de module inférieur ou égal à 1, les suites vont tendre vers 0. Cependant, au stade actuel de mes idées, je n'ai aucune garantie que l'étude de ces suites révélera une structure graphique fractale. J'ai donc programmé, sur ma calculatrice, un programme affichant cette fractale. Pour une valeur u0 définie à l'avance, on noircit l'ensemble des valeurs v0 (dans le plan complexe) pour lesquelles le module des suites ne converge pas (on arrête l'évaluation à partir d'un certain nombre d'itérations, ou quand les deux modules sont inférieurs à 1). Cela m'a donné une patatoïde, plus longue que large, et n'étant manifestement pas un cercle ou une figure géométrique. À droite, sur l'axe des abscisses, la frontière entre les valeurs à partir desquelles les suites divergent se situe entre -2.72 et -2.73. Pour l'instant, je ne sais pas quelle est la valeur précise. Et je ne sais toujours pas si c'est une fractale.
Cela m'a amené à penser que, même chez les réels, la convergence ou divergence de ce système n'est pas forcément quelque chose d'évident. Alors je me suis dit qu'il ne coûtait rien de commencer par une étude chez les réels. J'ai donc légèrement modifié mon programme, afin que chaque point du plan représente l'étude de la suite définie à l'aide de ses coordonnées (l'abscisse est la valeur u0, l'ordonnée est la valeur v0). Évidemment, puisque les rôles de u0 et v0 sont symétriques, la droite d'équation y = x allait être un axe de symétrie de la figure. Ce fut bien le cas, et j'obtins même une figure assez marrante. Une sorte de « neurone », avec de grosses synapses le long des axes du plan (prévisible), mais aussi avec des synapses plus petites, apparaissant à plusieurs endroits. En zoomant sur une partie de la figure, je me suis rendu compte que d'autres synapses apparaissaient de la même manière. Cela me laisse fortement supposer que ma figure a bien une structure fractale, mais les calculs étant assez long (plus d'une heure pour chaque image) je ne peux pas en être certain.
En observant la figure, j'ai choisi une valeur réelle pour laquelle l'étude montrerait certainement des irrégularité: -2.7. En revenant au premier mode de calcul, en prenant pour première valeur -2.7, j'ai obtenu plusieurs patatoïdes. C'est moins réjouissant que ce que j'aurais pu espérer, mais avec la très mauvaise résolution graphique de la calculette et l'absence de couleurs, je n'ai pas idée de ce que cela peut donner. Si les patatoîdes sont de cette forme, je ne me plaindrais pas :-) .
Voici où j'en suis de mes « recherches ». Je ne veux pas faire tout le travail cet été (l'épreuve doit être préparée pendant l'année), alors je vais éviter de trop y toucher pour le moment.
Je n'ai jamais eu écho de l'existence d'une étude sur un tel système de suites. Si cela existe déjà, merci de me prévenir, cela m'éviterait un travail inutile et me permettrait de changer assez tôt d'angle d'attaque sur le sujet.
J'ai essayé de programmer en logo l'affichage de cette fractale. Les paramètres sont définis en début de programme. Il est fait pour être interprété par UBCLogo. Malheureusement, ceci étant mon premier programme Logo, il ne fonctionne pas et est très mal codé. Alors si vous avez des compétences en logo, et que vous souhaitez m'aider, n'hésitez pas à jeter un oeil. Le message d'erreur est, actuellement : « I don't know how to true in while ».
Ce programme est sensé représenter l'étude du système pour une paire de réels (u0 en abscisse, v0 en ordonnée). Si vous ne comprenez pas les tests qui sont faits pour sortir de la boucle: c'est normal, moi non plus. Pour le moment, c'est juste de l'intuition. Autrement dit, même si le programme marchait dans son état actuel, je ne suis absolument pas sûr qu'il représenterait ce qu'on souhaite représenter ...
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