Détail de la fractale de Mandelbrot
Comme expliqué sur ma page d'accueil, je suis en math' spé, au lycée Pissarro. C'est la deuxième année de prépa. Elle se termine par les concours qui nous permettent d'intégrer une grande école d'ingénieurs (Polytechnique ou Centrale pour les meilleurs).
Une des épreuves que nous avons au concours est le TIPE. Une partie de cette épreuve est la présentation, devant un jury, d'un travail de recherche effectué pendant l'année. Nous avons la liberté de choisir le sujet qui nous intéresse, à condition qu'il corresponde. Cette année, le thème est : « Limite - Stabilité - Variabilité ».
Comme vous le savez sûrement, j'aime beaucoup explorer et étudier les fractales mathématiques. Or, la plupart de celles que vous pouvez observer dans ma galerie sont construits par une méthode relativement simple :
Quelle conclusion pouvons-nous tirer de cela ? Simplement que le sujet des fractales est parfaitement adapté au thème de cette année, puisque c'est l'étude de l'instabilité des limites de suites. C'est même un sujet type. Dans le cadre de ces TIPE, je vais donc étudier des fractales, parce que ça me passionne, et parce que c'est parfaitement dans le sujet.
Oui, mais voilà : les fractales, c'est un thème assez vaste. Il faut donc trouver un angle d'attaque pour ce sujet. De plus, je ne peux pas me contenter simplement de lire les études faites par Benoît MandelBrot ou Gaston Julia, puis ressortir le tout lors de l'oral. Il faut surtout, comme l'épreuve le demande, que je fasse un travail de recherche, si possible accompagné d'un travail de programmation (dans le cadre des fractales, ça ne doit pas être très difficile à faire).
Les fractales n'ayant connues un réel essor que depuis une trentaine d'années, il reste encore pas mal de chose à découvrir. Arrivé à ce point de la réflexion, l'idée m'est apparue, simple et logique : « Samuel, tu dois découvrir une nouvelle fractale ». Après tout, pourquoi pas ? Ça ne doit pas être trop difficile, c'est un excellent thème, je pourrais probablement en faire une étude approfondie, et le travail de programmation peut être celui de l'intégrer à un logiciel déjà existant (au hasard, GNU/XaoS). Il ne me restait plus qu'à trouver la fractale.
Très rapidement, l'idée m'est venue d'utiliser une double-suite. C'est à dire d'étudier l'évolution de 2 suites en parallèle, chaque suite étant définie récursivement en fonction des 2 termes précédents. J'ai repensé à une exercice que l'on avait fait (l'année dernière ou celle d'avant), qui consistait à étudier un tel système de suites. La première était la moyenne arithmétique des deux termes, la seconde était la moyenne harmonique de ces termes. Dans tous les cas, cette suite convergeait vers une certaine valeur. Ce n'était donc pas assez intéressant pour en faire une fractale.
Mon imagination m'a suggéré d'étudier un système de suites assez proche : la première suite est la moyenne des deux termes précédents, la seconde est le produit de ces termes. Cela donne, mathématiquement :
Pour ces suites, on peut définir deux paramètres : u0 et v0.
Dans le plan cartésien, on peut décider de « colorier » chaque point en fonction de la convergence (ou non) du système de suite, dont les valeurs initiales seront l'abcisse et l'ordonnée du point. Ainsi, pour un point M (x, y), si le système de suite défini précédemment avec les valeurs u0 = x et v0 = y ne converge pas vers 0, on décide de noircir (ou colorier) le point. On sait que si la valeur absolue de deux termes est strictement inférieure à 1, alors les suites convergent toutes deux vers 0 (les preuves viendront plus tard, quand j'aurais le courage de tout convertir en LaTeX). On sait que la droite d'équation y = x sera un axe de symétrie de la figure, puisque les rôles de x et y sont symétriques.
Cette représentation crée une figure en forme de « neurone », avec de grosses synapses le long des axes, et des synapses moins grosses en-dehors de ces axes. On comprend, intuitivement, d'où viennent ces synapses : pour une valeur u0 ou v0 suffisamment « petite » (proche de 0), la valeur suivante de la suite v sera aussi assez petite. Si la suite v reste suffisamment longtemps proche de 0, alors la suite u convergera vers 0 (terme presque divisé par à chaque étape), et les deux termes seront, à un moment, compris entre 0 et 1.
De même, on peut s'intéresser aux conditions pour qu'un des termes devienne nul (dans ce cas, le système converge forcément vers (0,0)). Pour que vn soit nul, il vaut que vn-1 ou un-1 soit nul. Pour qu'un terme de la suite u s'annule, il faut que les deux termes précédents soient opposés. La droite d'équation y = -x sera donc le support d'une des synapses, tous les points sur cette droite représentent des valeurs pour laquelle la suite converge.
Pour aller plus loin (ce que je n'ai pas encore fait), on peut s'intéresser aux antécédents de ces valeurs (termes opposés). On découvrira certainement de nouvelles synapses (et pas forcément des droites, cette fois-ci).
Il est très probable que, à la frontière entre la région dans laquelle la suite converge vers 0 et la région ou la suite diverge, il y ait des points particuliers pour lesquels, par exemple, la suite converge vers une valeur finie ou a un comportement cyclique. La seule valeur évidente, à mes yeux, est le couple (1, 1). Pour ces valeurs initiales, le système sera constant, les deux termes étant égaux à 1. Le seul antécédent de ce couple de valeur par notre système de suite est ce couple lui-même.
On pourrait définir une infinité de fractales : pour une valeur u0 donnée, on étudie le comportement de la suite pour les valeurs v0 (représentés dans le plan). Intuitivement, je sais qu'il existera des valeurs pour lesquelles ces suites convergeront vers 0, d'autres pour lesquelles la suite divergera. Par exemple, pour deux nombres u0 et v0 différents de module inférieur ou égal à 1, les suites vont tendre vers 0.
La représentation d'une telle fractale sur calculette donne toujours une figure comprenant une patatoïde contenant l'origine du repère. Pour certaines valeurs, il y a plusieurs patatoïdes, distinctes de la première. Il est impossible d'obtenir d'autres formes. En l'absence de couleurs, je ne sais pas si le rendu peut être joli. Cependant, si les patatoïdes sont de cette forme, je ne me plaindrais pas :-) .
J'ai essayé de programmer en logo l'affichage de cette fractale. Les paramètres sont définis en début de programme. Il est fait pour être interprété par UBCLogo. Malheureusement, ceci étant mon premier programme Logo, il ne fonctionne pas et est très mal codé. Alors si vous avez des compétences en logo, et que vous souhaitez m'aider, n'hésitez pas à jeter un oeil. Le message d'erreur est, actuellement : « I don't know how to true in while ».
Ce programme est sensé représenter l'étude du système pour une paire de réels (u0 en abscisse, v0 en ordonnée). Si vous ne comprenez pas les tests qui sont faits pour sortir de la boucle: c'est normal, moi non plus. Pour le moment, c'est juste de l'intuition. Autrement dit, même si le programme marchait dans son état actuel, je ne suis absolument pas sûr qu'il représenterait ce qu'on souhaite représenter ...
Je n'ai jamais eu écho de l'existence d'une étude sur un tel système de suites. Si cela existe déjà, merci de me prévenir, cela m'éviterait un travail inutile et me permettrait de changer assez tôt d'angle d'attaque sur le sujet.
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